Hull 10 · 11

Opciones: intro y propiedades

Terminología, los 6 factores, cotas de no-arbitraje, put-call parity y ejercicio temprano.

Antes de cualquier modelo de pricing, el simple no-arbitraje ya nos dice mucho: cómo cada uno de los seis factores mueve el precio, entre qué cotas tiene que estar una opción, y la relación exacta entre call y put — la put-call parity. También vemos cuándo conviene (y cuándo no) ejercer una opción americana temprano.

Conceptos básicos

Una opción es un contrato que da al comprador el derecho (no la obligación) de comprar (call) o vender (put) un activo subyacente a un precio fijo (strike $K$ ) en o hasta una fecha (expiry $T$ ). El vendedor (writer) recibe un premium y queda obligado a cumplir si el comprador ejerce.

Terminología clave (Hull Cap 9):

In-the-Money (ITM): El ejercicio ya tiene valor intrínseco. Call: $S > K$ . Put: $S < K$ .
At-the-Money (ATM): $S \approx K$
Out-of-the-Money (OTM): El ejercicio no tiene valor. Call: $S < K$ . Put: $S > K$ .
Europea vs Americana: Europea: solo ejercitable al vencimiento. Americana: en cualquier momento hasta T.
Payoff al vencimiento: Lo que vale la opción al llegar $T$ . Call: $max (S_{T} - K, 0)$ . Put: $max (K - S_{T}, 0)$ .

ℹMercado argentino

BYMA lista mayormente opciones de tipo europeo sobre acciones líderes (GGAL, YPF, BMA, PAMP, etc.), con vencimientos cuatrimestrales (Feb, Abr, Jun, Ago, Oct, Dic).

Visualizá el payoff, breakeven y máx profit/loss de un long call/put en el lab de estrategias.

Los 3 actores del mercado (Hull Cap 1)

Hedger: Usa derivados para reducir el riesgo de una posición existente. Ej: importador argentino que tiene que pagar USD en 90 días compra futuro de dólar para fijar el costo.
Especulador: Apuesta a una dirección. Compra opciones porque cree que el activo va a subir/bajar más de lo que el mercado pricea.
Arbitrajista: Busca diferencias de precio que violen no-arbitraje y las captura. En AR: arbitraje CCL vs MEP, CEDEARs vs subyacente US, parity violations.

El forward (Cap 5) es el primo simple del futuro: contrato bilateral, sin clearing, sin mark-to-market diario. El futuro estandariza y agrega margen. Las opciones son el siguiente nivel: introducen convexidad (gamma) y por eso necesitan modelos más sofisticados (Cap 12 binomial, Cap 14 Black-Scholes).

Los 6 factores

Seis variables determinan el precio de una opción europea sobre una acción. Para americanas se suma la cuestión del early exercise, pero las direcciones son las mismas. Esta es la tabla que entra en el parcial:

Factor	Eur. Call	Eur. Put	Am. Call	Am. Put
Spot (S₀)	+	−	+	−
Strike (K)	−	+	−	+
Tiempo (T)	?	?	+	+
Volatilidad (σ)	+	+	+	+
Tasa libre (r)	+	−	+	−
Dividendos (D)	−	+	−	+

★Por qué el ?

Para opciones europeas, más tiempo NO siempre es mejor: si hay dividendos grandes antes del expiry, podés perderte más drawdowns del spot (call) o más uplifts (put). Para americanas, más tiempo nunca puede ser peor — siempre podés ejercer hoy mismo si querés, así que

T + 1

domina a

T

Variá un factor a la vez y mirá el precio recalcularse en el pricing lab (base case: S=100, K=100, T=0.5, σ=25%, r=5%, q=0%).

Por qué cada factor mueve el precio

S₀: el subyacente sube → el call gana valor intrínseco ( $S - K$ ), el put pierde. Directo.
K: a más strike, el call tiene menos chance de terminar ITM ( $S > K$ más difícil), y el put más ( $K > S$ más fácil).
T: para americanas, más tiempo = más optionality. Para europeas es ambiguo porque los dividendos pueden comerse esa ventaja de tiempo.
σ: vol más alta significa mayor varianza del payoff. Como las opciones tienen payoff truncado ( $max (S - K, 0)$ o $max (K - S, 0)$ ), más dispersión = más valor esperado. Aplica a calls y puts por igual.
r: más tasa → más caro tener cash, más barato diferir el pago de $K$ (call). Para el put, más tasa = más caro tener short cash, así que el precio cae.
D (dividendos): los pagos de dividendos reducen el spot ex-date. Calls pierden valor (S esperado más bajo), puts ganan.

Propiedades y put-call parity

Sin asumir ningún modelo de pricing, el simple no-arbitraje nos da relaciones fuertes.

Cotas para opciones europeas (Hull 10.1–10.5)

max (S_{0} e^{- q T} - K e^{- r T}, 0) \leq c \leq S_{0} e^{- q T}

max (K e^{- r T} - S_{0} e^{- q T}, 0) \leq p \leq K e^{- r T}

Put-Call Parity (Hull 10.6)

c + K e^{- r T} = p + S_{0} e^{- q T}

Si esta igualdad no se cumple, hay arbitraje: armás un portafolio sintético en el lado barato y vendés el lado caro.

ℹTasa implícita en el par call/put

En AR la tasa libre de riesgo oficial (BADLAR/TAMAR) no siempre refleja el funding real. Despejando

r

de la parity se obtiene la tasa que el mercado de opciones está priceando:

r = - \frac{1}{T} ln (\frac{S e ^{- q T} - ( C - P )}{K})

Verificá parity, cotas y tasa implícita con quotes reales en el parity lab.

Put-Call Parity — derivación formal (portfolios A y C)

Demostración por arbitraje. Probamos que para opciones europeas (sin dividendos):

c + K e^{- r T} = p + S_{0}

Construimos dos portfolios con mismo payoff en $t = T$ . Si tienen el mismo payoff → deben tener el mismo precio hoy (ley de precio único).

Portfolio A: comprás un call europeo strike $K$ + un zero-coupon bond que paga $K$ en $T$ . Costo hoy: $c + K e^{- r T}$ .

Portfolio C: comprás un put europeo strike $K$ + una acción del subyacente. Costo hoy: $p + S_{0}$ .

Payoffs en $t = T$ — dos escenarios:

Componente	Si S_T > K	Si S_T < K
Call	S_T − K	0
Bond	K	K
= Portfolio A	S_T	K
Put	0	K − S_T
Share	S_T	S_T
= Portfolio C	S_T	K

✓Conclusión

Ambos portfolios valen lo mismo en TODOS los escenarios (

S_{T}

si sube ITM,

K

si baja OTM). Por ley de precio único:

c + K e^{- r T} = p + S_{0}

ℹUso práctico

Si conocés

c, S_{0}, K, r, T

→ despejás

p = c + K e^{- r T} - S_{0}

. O creás un call sintético:

c = p + S_{0} - K e^{- r T}

. Si la relación no se cumple en el mercado, hay oportunidad de arbitraje.

American options — desigualdad de paridad

Para americanas no hay igualdad exacta (por early exercise), pero sí desigualdades:

S_{0} - K \leq C - P \leq S_{0} - K e^{- r T}

Cota inferior: $S_{0} - K$ (intrinsic).
Cota superior: $S_{0} - K e^{- r T}$ (paridad europea).

Ejemplo numérico

Parámetros: $c = $1.50$ (call europea conocida), $K = $20$ , $T = 5/12$ años, $S_{0} = $19$ , $r = 10%$ . Objetivo: acotar el put americano $P$ .

S_{0} - K = 19 - 20 = - 1

S_{0} - K e^{- r T} = 19 - 20 e^{- 0.10 \times 5/12} = 19 - 19.1838 = - 0.1838

Entonces $- 1 \leq C - P \leq - 0.1838$ . Como $C \geq c = 1.5$ (americana ≥ europea), reordenando para $P$ :

P \geq c - (S_{0} - K e^{- r T}) = 1.50 - (- 0.1838) = 1.6838

P \leq c + (K - S_{0}) = 1.50 + 1.00 = 2.50

También $P \geq max (K - S_{0}, 0) = $1.00$ (intrinsic). Tomando el máximo de cotas inferiores: $1.6838.

✓Resultado

$1.68 < P < $2.50

. El put americano debe estar entre ~$1.68 y $2.50.

Early exercise — americano vs europeo

Calls americanos sobre activos sin dividendos: nunca conviene ejercer temprano.
Puts americanos: puede convenir ejercerlos si están muy ITM.

ℹCall americano sin dividendos

El call europeo siempre vale más que el intrinsic (

S - K

). Ese exceso es el “valor del seguro” — lo que perdés si ejercés temprano. Por eso nunca conviene ejercer un call americano sin dividendos. Con dividendos sí puede convenir, justo antes del ex-date para capturarlo.

⚠Put americano

El put americano puede tocar la línea intrinsic (

K - S

) cuando

S

es muy bajo. Si

S \to 0

, ejercer ya te da

K

; esperar te da solo

K e^{- r T} < K

(perdés la tasa). Por eso puede convenir ejercer un put americano temprano si está muy ITM.

Formulario — Hull Cap 10 · 11

Payoff al vencimiento:

Call = max (S_{T} - K, 0) Put = max (K - S_{T}, 0)

Put-call parity — opciones europeas:

c + K e^{- r T} = p + S_{0} e^{- q T}

Cotas del call europeo:

max (S_{0} e^{- q T} - K e^{- r T}, 0) \leq c \leq S_{0} e^{- q T}

Cotas del put europeo:

max (K e^{- r T} - S_{0} e^{- q T}, 0) \leq p \leq K e^{- r T}

Desigualdad de paridad — opciones americanas:

S_{0} - K \leq C - P \leq S_{0} - K e^{- r T}