Hull 5

Forward pricing — cost of carry

Valuación de forwards y futuros: cost of carry, income, storage y convenience yield.

Hull 5 y 6. La valuación de un forward o futuro se reduce a un único concepto: el cost of carry. Financiar el spot, ahorrar dividendos, pagar storage o cobrar convenience yield — todo entra en un solo exponente que separa contango de backwardation.

Pricing genérico — cost of carry

El forward price genérico (Hull 5.17) reúne todos los casos en una sola fórmula:

F_{0} = S_{0} e^{(r - q + u - y) T}

$r$ — risk-free rate (cc).
$q$ — dividend yield (o costo de financiamiento ahorrado si tenés el asset).
$u$ — storage cost rate.
$y$ — convenience yield (beneficio de tener el físico, no el papel).

El cost of carry es $c = r - q + u - y$ , de modo que $F_{0} = S_{0} e^{c T}$ . Si $c > 0$ el mercado está en contango ( $F > S$ ); si $c < 0$ , en backwardation.

Probá distintos parámetros en la calculadora de pricing.

Contango vs Backwardation

Dos regímenes de estructura de plazos de futuros. La diferencia clave es el signo del cost of carry $c = r - q + u - y$ .

Régimen	Relación	Cuándo aparece	Ejemplos reales
▲ Contango	$F > S$	Cost of carry positivo: pagás r para financiar el spot y ahorrás q en dividendos.	Oro casi siempre · S&P 500 cuando r > div yield · commodities almacenables sin shortage (cobre normal, soja en cosecha).
▼ Backwardation	$F < S$	Convenience yield alto o dividend yield > r. El mercado paga premium por tener el físico ya.	Oil WTI en crisis (2022, invasión a Ucrania) · gas natural en invierno · equity con dividendos muy altos (REITs, MLPs).

La curva de forwards es $F_{0} = S_{0} e^{c T}$ : con $c > 0$ crece con el plazo, con $c < 0$ decae. En todos los regímenes el spread $F - S$ converge a cero al vencimiento — la velocidad depende del cost of carry.

ℹConvergencia

Asumiendo que el spot no se mueve, el spread futuro-spot va a cero en el vencimiento porque el exponente

c (T - t)

tiende a cero a medida que pasa el tiempo. Un panel de futuros listados en un exchange (ej. CME) muestra esta estructura: cada contrato cotiza según su propio vencimiento.

Convenience yield

El convenience yield $y$ (Hull 5.17) es el beneficio implícito de poseer el activo físico en lugar del forward. Es típico en commodities cuando hay riesgo de shortage. Se despeja de las cotizaciones de mercado: dados $F_{0}, S_{0}, r, u, q$ ,

y = r - q + u - \frac{1}{T} ln \frac{F _{0}}{S _{0}}

ℹNota

Si el convenience yield implícito es muy alto, el mercado está priorizando tener el físico ya — señal de escasez. Es exactamente lo que empuja al mercado hacia backwardation.

Valor de una posición forward existente

Una vez que entraste en un forward a un delivery price $K$ , su valor cambia a medida que el precio forward actual $F_{0}$ se mueve. La fórmula (Hull 5.4):

f = (F_{0} - K) e^{- r T}

$f$ — valor de la posición long (positivo si ganaste, negativo si perdiste).
$F_{0}$ — precio forward actual para vencimiento $T$ (calculado desde el spot).
$K$ — delivery price pactado en tu contrato.
$r$ — tasa risk-free continua.
$T$ — tiempo al vencimiento (años).

Intuición: la diferencia $F_{0} - K$ es lo que ganarías o perderías en el futuro; se trae a presente con $e^{- r T}$ . La posición short vale lo opuesto: $f_{short} = (K - F_{0}) e^{- r T}$ .

Hull-style 5.3 — forward sobre petróleo

Entraste long forward en petróleo a $K = $24$ /barril. Hoy el spot está en $S_{0} = $25$ , la tasa risk-free es $r = 5%$ continua y el vencimiento es en $T = 0.5$ años.

1. Forward actual:

F_{0} = S_{0} e^{r T} = 25 e^{0.05 \times 0.5} = 25 \times 1.02532 = $25.633

2. Valor de tu posición long:

f = (F_{0} - K) e^{- r T} = (25.633 - 24) e^{- 0.025} = 1.633 \times 0.9753 = $1.5926

Tu contrato long a $24 vale hoy $1.5926 por barril. Ganaste porque $F_{0} = $25.633 > K = $24$ .

Reproducí y variá este escenario en la calculadora de pricing.

Cash & Carry vs Reverse Cash & Carry

Estas son las dos estrategias de arbitraje que enforcean el forward price hacia su nivel justo $F^{*} = S_{0} e^{r T}$ .

Cash & Carry (C&C) — el forward está caro ( $F_{0} > S_{0} e^{r T}$ )

t = 0: pedís prestado $S_{0}$ , comprás el activo spot y shorteás el forward a $F_{0}$ . Cash flow neto: $0.
t = T: entregás el activo, cobrás $K = F_{0}$ y devolvés el préstamo $S_{0} e^{r T}$ .
Profit risk-free: $F_{0} - S_{0} e^{r T} > 0$ . Arbitraje puro.

Reverse Cash & Carry (RC&C) — el forward está barato ( $F_{0} < S_{0} e^{r T}$ )

t = 0: shorteás el activo (cobrás $S_{0}$ ), invertís a la tasa y vas long el forward a $F_{0}$ . Cash flow neto: $0.
t = T: cobrás $S_{0} e^{r T}$ , comprás el activo a $F_{0}$ vía forward y cubrís el short.
Profit risk-free: $S_{0} e^{r T} - F_{0} > 0$ .

★Equilibrio

En equilibrio

F_{0} = S_{0} e^{r T}

exactamente y no hay arbitraje. Cualquier desvío (asumiendo costos de transacción cero) es explotado por los arbitrajistas hasta cerrar el spread.

Forward de monedas — escenarios AUDUSD

Un exportador australiano va a cobrar AUD 1,000,000 en $T$ años. Para fijar el valor en USD puede entrar a un forward FX. Veamos cómo termina el resultado en distintos escenarios de spot al vencimiento.

Datos: spot AUDUSD = 0.8000, forward 1Y = 0.8100, monto AUD 1M, $T = 1$ . El forward implícito (covered interest parity) $F_{0} = S_{0} e^{(r_{d} - r_{f}) T}$ dice que el AUD se aprecia hacia 0.8100 a 1 año.

Spot AUDUSD en T	USD sin hedge	USD con forward (0.8100)	P&L hedge
0.7500	$750,000	$810,000	+$60,000
0.8000	$800,000	$810,000	+$10,000
0.8500	$850,000	$810,000	−$40,000
0.9000	$900,000	$810,000	−$90,000

ℹInsight

El forward fija el USD a recibir en exactamente $810,000, sin importar dónde termine el spot. Si el AUD se aprecia más allá de 0.8100, hubieras estado mejor sin hedge — pero ese es el precio de la certeza.

Formulario — Capítulo 5

Las fórmulas de valuación de forwards y futuros que se usan en esta unidad.

Forward price — sin income

F_{0} = S_{0} e^{r T}

Con income conocido $I$ (valor presente de los ingresos)

F_{0} = (S_{0} - I) e^{r T}

Con dividend yield continuo $q$

F_{0} = S_{0} e^{(r - q) T}

Commodity con storage $u$ y convenience yield $y$

F_{0} = S_{0} e^{(r + u - y) T}

Cost of carry

c = r - q + u - y

Valor de un forward existente con delivery price $K$

f = (F_{0} - K) e^{- r T}

Convenience yield despejada de cotizaciones de mercado

y = r - q + u - \frac{1}{T} ln (\frac{F _{0}}{S _{0}})

Forward FX — covered interest parity

F_{0} = S_{0} e^{(r_{d} - r_{f}) T}