Hull 4

Tasas de interés y FRAs

Compounding, tasas cero, forward rates, FRAs, duration y la curva de rendimientos.

Hull 4. La materia prima de todo el resto del curso: cómo se convierte una tasa entre frecuencias de capitalización, cómo el mercado implica forward rates desde la zero curve, cómo se valúa un FRA y cómo la duration mide el riesgo de tasa de un bono.

Compounding — conversión entre frecuencias

Una misma tasa nominal significa cosas distintas según cuántas veces por año capitalice. La conversión entre una tasa con $m$ capitalizaciones anuales $R_{m}$ y su equivalente continuous compounding $R_{c}$ es (Hull 4.2):

R_{c} = m ln (1 + \frac{R _{m}}{m}) ⟺ R_{m} = m (e^{R_{c} / m} - 1)

La tasa continua $R_{c}$ es la que se usa en BSM, en árboles binomiales, en FRAs y en prácticamente toda valuación de derivados. Convertir siempre a continuo antes de descontar.

📘Hull 4.2

Cuanto mayor es la frecuencia de capitalización, menor es la tasa nominal necesaria para llegar al mismo crecimiento efectivo. En el límite

m \to \infty

aparece el compounding continuo, que es la convención natural en finanzas cuantitativas.

Probá la conversión en vivo en la calculadora de paridad o en cualquiera de los labs de pricing, donde toda tasa se ingresa en continuo.

Forward rates desde la zero curve

Dada la zero curve (las tasas spot $R_{1}$ hasta $T_{1}$ y $R_{2}$ hasta $T_{2}$ , ambas continuas), la forward rate que el mercado implica para el período futuro $[T_{1}, T_{2}]$ es (Hull 4.7):

f_{T_{1}, T_{2}} = \frac{R _{2} T _{2} - R _{1} T _{1}}{T _{2} - T _{1}}

Es la tasa que el mercado implícitamente pricea para ese tramo futuro. Si la curva es upward sloping (creciente), las forward rates quedan por encima de las spot; si es descendente, por debajo.

Bootstrap — construir la zero curve desde precios de bonos

La zero curve no se observa directamente: se bootstrapea a partir de precios de mercado mediante un procedimiento iterativo.

Bono más corto (zero-coupon) → da la primera tasa zero directamente.
Bonos siguientes (con cupón) → se descuentan los cupones con las tasas zero ya conocidas y se despeja la nueva tasa zero del último cashflow.

Bootstrap paso a paso — 3 bonos al par (face = 100)

Maturity	Cupón anual	Precio
6 meses	0% (zero)	97.50
1 año	8%	100.00
1.5 años	12%	100.00

Paso 1 — Bono 6m (zero coupon). Es un descuento puro:

100 = 97.50 e^{R_{1} \times 0.5} ⟹ R_{1} = - \frac{1}{0.5} ln (\frac{97.50}{100}) = 5.063%

Paso 2 — Bono 1 año (cupón 8% pagado semestral: $4 a los 6m y $104 a 1 año). Usamos $R_{1}$ para descontar el cupón de 6m y despejamos $R_{2}$ :

100 = 4 e^{- R_{1} \times 0.5} + 104 e^{- R_{2} \times 1.0} ⟹ R_{2} = 5.882%

Paso 3 — Bono 1.5 años (cupón 12% anual pagado semestral: $6 a los 6m, $6 al año y $106 a 1.5 años). Despejamos $R_{3}$ :

100 = 6 e^{- R_{1} \times 0.5} + 6 e^{- R_{2} \times 1.0} + 106 e^{- R_{3} \times 1.5} ⟹ R_{3} = 6.380%

Resultado final: $R (0.5) = 5.06%$ , $R (1.0) = 5.88%$ , $R (1.5) = 6.38%$ . Estos son los spot rates que el mercado implica para descontar cualquier cashflow en esos plazos — una curva upward sloping.

ℹEngine disponible

El proceso anterior se generaliza programáticamente: un bootstrap soporta bonos zero más bonos con cupones semestrales y permite construir curvas largas (5y, 10y, 30y) sin hacer la cuenta a mano.

FRAs — Forward Rate Agreements

Un FRA es un contrato que fija una tasa de interés $R_{K}$ para un período futuro $[T_{1}, T_{2}]$ (Hull 4.8). Quien hace receive fixed cobra la tasa pactada $R_{K}$ y paga la flotante $R_{F}$ que se observe en $T_{1}$ .

Payoff en $T_{2}$ (receive fixed) y valor hoy:

Payoff_{T_{2}} = L (R_{K} - R_{F}) (T_{2} - T_{1})

V_{F R A} = L (R_{K} - R_{F}) (T_{2} - T_{1}) e^{- R_{2} T_{2}}

donde $R_{F}$ es la forward rate implícita en la zero curve — exactamente la del bloque anterior.

📘Setup tipo Hull 4.3

Notional $100M,

R_{K} = 4%

T_{1} = 3

T_{2} = 3.25

, zero a 3 años = 3% cc, zero a 3.25 años = 3.2% cc. Aplicando

f = (R_{2} T_{2} - R_{1} T_{1}) / (T_{2} - T_{1})

→ forward

\approx 5.6%

cc → payoff en

T_{2} \approx - $405 k

→ PV

\approx - $365 k

Podés reproducir este cálculo y variar los inputs en la calculadora de pricing.

FRA settlement — al final vs al inicio (descontado)

Un FRA produce un solo flujo, pero hay dos convenciones sobre cuándo se paga.

Método 1 — Settlement al final del período (timing natural):

Pago_{T_{2}} = L (R_{F} - R_{K}) τ

donde $τ = T_{2} - T_{1}$ es la duración del período (day-count simple del FRA, típicamente ACT/360).

Método 2 — Settlement al inicio del período (práctica de mercado, en $T_{1}$ ):

Pago_{T_{1}} = \frac{L ( R _{F} - R _{K} ) τ}{1 + R _{F} τ}

Es el Método 1 descontado a $T_{1}$ con la tasa flotante observada (no la zero curve), usando convención simple.

¿Por qué importa?

Operativamente es mucho más conveniente pagar al inicio:

Se elimina el riesgo de contraparte durante el período de devengo.
Ambas partes saben exactamente cuánto se debe el mismo día del reset.
No hay que esperar 3-6 meses hasta el settlement "natural".

Por eso la mayoría de los FRAs interbancarios se liquidan así (Hull 4.8).

FRA 3×9 — comparación de settlement

FRA 3×9 (empieza en 3 meses, dura 6 meses) sobre LIBOR 6m. Notional $1M, tasa pactada $R_{K} = 5%$ , LIBOR observada $R_{F} = 5.5%$ , day-count ACT/360 → $τ = 180/360 = 0.5$ .

Pago_{T_{2}} = 1, 000, 000 (0.055 - 0.05) (0.5) = $2, 500

Pago_{T_{1}} = \frac{2 , 500}{1 + 0.055 \times 0.5} = $2, 432

El método "al inicio" paga menos porque se cobra antes. Si invirtieras $Pago_{T_{1}}$ a la tasa $R_{F}$ entre $T_{1}$ y $T_{2}$ , recibirías exactamente $Pago_{T_{2}}$ . Sin arbitraje, ambos métodos son equivalentes en valor presente.

Duration — sensibilidad del bono al yield

La duration de Macaulay (Hull 4.10) es el plazo promedio ponderado por el PV de cada cashflow:

D = \frac{\sum _{i} t _{i} CF _{i} e ^{- y t_{i}}}{\sum _{i} CF _{i} e ^{- y t_{i}}} = \frac{\sum _{i} t _{i} CF _{i} e ^{- y t_{i}}}{B}

La duration modificada ajusta por la frecuencia de compounding y aproxima el cambio porcentual del precio del bono ante un movimiento del yield:

D^{*} = \frac{D}{1 + y / m} \frac{Δ B}{B} \approx - D^{*} Δ y

★Clave para el parcial

La aproximación

Δ B / B \approx - D^{*} Δ y

es lineal: subestima el precio ante caídas grandes de yield y lo sobreestima ante subas grandes. El error es la convexidad — la curvatura real

Δ B / B

queda siempre por encima de la recta tangente.

Formulario — Capítulo 4

Las fórmulas que se usan en esta unidad, listas para el parcial (cc = continuous compounding).

Conversión de compounding

R_{c} = m ln (1 + \frac{R _{m}}{m}) R_{m} = m (e^{R_{c} / m} - 1)

Discount factor

D F (T) = e^{- r T}

Forward rate entre $T_{1}$ y $T_{2}$

f_{T_{1}, T_{2}} = \frac{R _{2} T _{2} - R _{1} T _{1}}{T _{2} - T _{1}}

Precio de un bono

B = i \sum CF_{i} e^{- R_{i} t_{i}}

Valor de un FRA (receive fixed)

V_{F R A} = L (R_{K} - R_{F}) (T_{2} - T_{1}) e^{- R_{2} T_{2}}

Duration de Macaulay y modificada

D = \frac{\sum _{i} t _{i} CF _{i} e ^{- y t_{i}}}{B} D^{*} = \frac{D}{1 + y / m}

Aproximación de primer orden del precio del bono

\frac{Δ B}{B} \approx - D^{*} Δ y