monte carloHull 13 · 21

Simulación estocástica

Generá miles de trayectorias GBM, mirá el terminal converger a la log-normal teórica y observá cómo el error del estimador Monte Carlo cae como 1/√N hacia el precio Black-Scholes.

Laboratorio Monte Carlo

cuantil 5%medianacuantil 95%

min S_T

$61.01

P(S_T < S₀)

57.5%

cae bajo el inicio

P(S_T > 1.5·S₀)

7.5%

sube +50%

max S_T

$171.46

Cada trayectoria es un movimiento browniano geométrico simulado: dlnS = (μ−σ²/2)dt + σ√dt·z. Las bandas marcan los cuantiles 5/50/95% analíticos log-normales.

El estimador

S_{T} = S_{0} exp [(μ - \frac{1}{2} σ^{2}) T + σ T Z], Z \sim N (0, 1)

\hat{C}_{0} = e^{- r T} \frac{1}{N} i = 1 \sum N max (S_{T}^{(i)} - K, 0)

SE (\hat{C}_{0}) = \frac{s}{N} \propto \frac{1}{N}

Bajo medida risk-neutral el drift es μ = r − q. El error estándar cae como 1/√N: hay que cuadruplicar N para halvar el error. Las variates antitéticas reducen la varianza promediando pares (+Z, −Z). Validado contra Hull, Cap. 13 y 21.