Hull 17 · 18

Opciones sobre índices, FX y futuros

Opciones sobre índices, monedas y futuros; el modelo de Black y dividend yield.

La fórmula de Black-Scholes-Merton se extiende a tres familias de subyacentes que pagan un "rendimiento por tenencia": índices (dividend yield q), monedas (tasa extranjera r_f, vía Garman-Kohlhagen) y futuros (donde el modelo de Black hace desaparecer el growth term). Cap 17 (índices + FX) y 18 (opciones sobre futuros).

Opciones sobre índices (Hull 17.1)

Una opción europea sobre un índice (S&P 500, Nasdaq, Russell) se valúa con BSM extendido por Merton (1973) para incorporar un dividend yield continuo q:

c = S_{0} e^{- q T} N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})

d_{1} = \frac{ln ( S _{0} / K ) + ( r - q + \frac{1}{2} σ ^{2} ) T}{σ T}, d_{2} = d_{1} - σ T

Para el S&P 500, q típicamente está entre 1.5% y 2.5% anual (continuous compounded). Como q es positivo, el call vale menos que sobre un asset sin dividendos.

ℹEfecto de q

Los dividendos esperados reducen el spot ex-date, lo que baja el precio del call y sube el del put respecto al caso sin dividendos.

Compará call/put con y sin dividend yield en el laboratorio de pricing.

Opciones sobre monedas — Garman-Kohlhagen (Hull 17.2)

Para opciones sobre tipo de cambio, la tasa extranjera $r_{f}$ juega el rol del dividend yield: tener la moneda extranjera te paga $r_{f}$ , igual que un activo paga q.

c = S_{0} e^{- r_{f} T} N (d_{1}) - K e^{- r_{d} T} N (d_{2})

d_{1} = \frac{ln ( S _{0} / K ) + ( r _{d} - r _{f} + \frac{1}{2} σ ^{2} ) T}{σ T}, d_{2} = d_{1} - σ T

El forward FX sale de la covered interest parity:

F = S \cdot e^{(r_{d} - r_{f}) T}

Si la tasa doméstica es más alta que la extranjera (típico USD vs JPY hace años), el forward descuenta la moneda doméstica ( $F > S$ ).

📘Hull Ejemplo 17.2

USD/GBP. S = 1.6, K = 1.6, T = 4/12, σ = 14.1%, r_d = 8%, r_f = 11%. Hull cita la prima del call en 4.3 cents = 0.0430.

Opciones sobre futuros — modelo de Black (Hull 18.6)

Las opciones sobre futuros se valúan con el modelo de Black (1976). La diferencia con BSM: el subyacente es el FUTURO, no el spot. El futuro ya incorpora el cost of carry, así que el growth term en d₁ desaparece (queda solo $σ^{2} /2$ ):

c = e^{- r T} [F_{0} N (d_{1}) - K N (d_{2})]

p = e^{- r T} [K N (- d_{2}) - F_{0} N (- d_{1})]

d_{1} = \frac{ln ( F _{0} / K ) + \frac{1}{2} σ ^{2} T}{σ T}, d_{2} = d_{1} - σ T

★Equivalencia Black ↔ BSM

$Black (F, K, T, r, σ) = BSM (F, K, T, r, σ, q = r)$ . El parámetro q = r cancela el drift en d₁ porque $(r - q) = 0$ .

Para qué se usa: opciones sobre commodity futures (WTI crude, gold, corn), Treasury bond futures, Eurodollar futures. Mucha más liquidez en CME que sobre spot.

La delta de una futures option lleva su propio factor de descuento:

Δ_{call} = e^{- r T} N (d_{1}), Δ_{put} = - e^{- r T} N (- d_{1})

📘Hull Ejemplo 18.1

Futures option sobre crude oil. F = 20, K = 20, T = 4/12, σ = 25%, r = 10%. Call esperado ≈ 1.116.

⚠Black vs BSM mal usado

Si tomás el F del futuro y lo metés directo en BSM tratándolo como spot (q = 0), obtenés un precio diferente. Black es el modelo correcto cuando el subyacente es el futuro.

Valuá futures options con el modelo de Black en el laboratorio de pricing.

Range forward — collar FX zero-cost (Hull 17.4)

Estrategia común en empresas que hedgean exposición FX. Para un importador que en T necesita comprar moneda extranjera, se arma con dos patas:

Pata	Strike	Rol
Long call FX	$K_{call}$	Techo a lo que va a pagar.
Short put FX	$K_{put}$	Piso (renunciás a apreciaciones del FX).

Si elegís los strikes simétricos al forward de manera tal que el premium recibido por el put financie el premium pagado por el call, el costo neto es cero (zero-cost collar).

El precio efectivo que vas a pagar termina entre $K_{put}$ y $K_{call}$ : te "auto-impusiste" un bracket. Muy popular en commodities (range forward de oil para refinerías).

costo efectivo (S_{T}) = clip (S_{T}, K_{put}, K_{call})

Armá el collar zero-cost y mirá el costo efectivo al vencimiento con las estrategias de trading.

Formulario (Cap 17-18)

Opción sobre índice — BSM con dividend yield

c = S_{0} e^{- q T} N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})

Garman-Kohlhagen — opción sobre divisas (r_f = tasa extranjera)

c = S_{0} e^{- r_{f} T} N (d_{1}) - K e^{- r_{d} T} N (d_{2})

Forward FX — covered interest parity

F_{0} = S_{0} e^{(r_{d} - r_{f}) T}

Modelo de Black — opción sobre futuros

c = e^{- r T} [F_{0} N (d_{1}) - K N (d_{2})]

d_{1} = \frac{ln ( F _{0} / K ) + \frac{1}{2} σ ^{2} T}{σ T}, d_{2} = d_{1} - σ T

Delta de futures option

Δ_{call} = e^{- r T} N (d_{1})