Hull 13 · 14 · 15

Valuación: binomial y BSM

Árboles binomiales, valuación risk-neutral, convergencia y la fórmula de Black-Scholes.

El binomial es el capítulo más difícil de Hull, pero también el más conceptual: muestra de dónde sale el pricing de opciones sin necesidad de cálculo estocástico. La idea central —valuación risk-neutral— es la misma que después reaparece en Black-Scholes. Cap 13 (binomial), 14 (procesos de Wiener y GBM) y 15 (BSM y la interpretación de N(d₁)/N(d₂)).

Árbol de un paso (la intuición)

Partimos del caso más simple (Hull 13.1). El subyacente S puede subir a $S \cdot u$ o bajar a $S \cdot d$ en un único período. Un call paga $f_{u} = max (S u - K, 0)$ si sube ó $f_{d} = max (S d - K, 0)$ si baja.

Construimos un portfolio risk-free: long Δ acciones, short 1 call. Para que el valor del portfolio sea el mismo suba o baje el subyacente (sin incertidumbre), elegimos:

Δ = \frac{f _{u} - f _{d}}{S u - S d}

Como el portfolio no tiene riesgo, debe rendir la tasa libre. Su valor hoy descontado iguala su valor futuro garantizado:

Δ S - f = (Δ S u - f_{u}) e^{- r T}

De ahí, despejando, sale la fórmula risk-neutral:

f = e^{- r T} [p f_{u} + (1 - p) f_{d}], p = \frac{e ^{r T} - d}{u - d}

★El punto clave del capítulo

p no es la probabilidad real de que el subyacente suba. Es la probabilidad risk-neutral: la que hace que valuar la opción descontando a la tasa libre dé el mismo precio que el argumento de no-arbitraje (replicating portfolio). La drift real del activo nunca entra en el pricing.

📘Hull Ejemplo 13.1

S = $20, u = 1.1, d = 0.9, K = $21, r = 12%, T = 3 meses ⟶ C ≈ $0.633.

Probá distintos u, d, S, K y mirá cómo se mueve el árbol y el precio en el laboratorio binomial.

Ejemplo del docente: S=41, K=40 (los dos métodos lado a lado)

El mismo problema resuelto con dos métodos para mostrar que arbitraje (replicating portfolio) y valuación risk-neutral dan idéntico precio. Parámetros: S₀ = $41, K = $40 (call europeo), T = 1 año, r = 8% continua, con Su = $60 y Sd = $30.

Método 1 · Replicating portfolio

Idea: replicar el payoff del call con Δ acciones + B en un bono libre de riesgo.

Payoffs: si sube $C_{u} = max (60 - 40, 0) = 20$ ; si baja $C_{d} = max (30 - 40, 0) = 0$ .

Sistema de ecuaciones:

{Δ \cdot 60 + B e^{0.08} = 20 Δ \cdot 30 + B e^{0.08} = 0

Δ = \frac{C _{u} - C _{d}}{S _{u} - S _{d}} = \frac{20 - 0}{60 - 30} = \frac{2}{3}

B = - \frac{S _{d} Δ}{e ^{r T}} = - \frac{30 \times ( 2/3 )}{e ^{0.08}} = - 18.4616

Precio del call: $C_{0} = Δ S_{0} + B = (2/3) \times 41 - 18.4616 = 8.8718$ .

Método 2 · Risk-neutral valuation

Idea: calcular el valor esperado del payoff bajo la probabilidad neutral al riesgo.

Factores: $u = S_{u} / S_{0} = 60/41 = 1.4634$ y $d = S_{d} / S_{0} = 30/41 = 0.7317$ .

Probabilidad risk-neutral:

p = \frac{e ^{r T} - d}{u - d} = \frac{e ^{0.08} - 0.7317}{1.4634 - 0.7317} = 0.4805

Valor esperado descontado:

C_{0} = e^{- r T} [p C_{u} + (1 - p) C_{d}] = e^{- 0.08} [0.4805 \times 20 + 0.5195 \times 0] = 8.8718

✓Ambos métodos dan el mismo precio

C₀ = $8.8718 por las dos vías. Esto demuestra la equivalencia conceptual entre arbitraje y valuación risk-neutral. Para el examen: el docente puede pedir cualquiera de los dos métodos, o ambos. Dominá los dos.

Árbol de n pasos

Para que el árbol matchee una volatilidad $σ$ dada, Hull (13.10) usa la calibración de Cox-Ross-Rubinstein (CRR):

u = e^{σ Δ t}, d = \frac{1}{u}, p = \frac{e ^{r Δ t} - d}{u - d}

Inducción backward: se valúa de atrás hacia adelante. En cada nodo no terminal,

f = e^{- r Δ t} [p f_{u} + (1 - p) f_{d}]

Para opciones americanas, en cada nodo se compara el valor de continuación con el valor intrínseco de ejercer ahora y se toma el máximo: $f = max (continuaci \overset{o}{ˊ} n, intr \overset{ı}{ˊ} nseco)$ .

ℹCRR vs Leisen-Reimer

El árbol CRR converge al precio Black-Scholes oscilando a medida que crece n. El método Leisen-Reimer (con n impar) converge mucho más rápido y suave, por eso se usa en la práctica para pocas pasos.

Convergencia

A medida que $n \to \infty$ , el árbol binomial converge al precio de Black-Scholes-Merton (para europeas). CRR oscila alrededor del valor BSM; Leisen-Reimer lo aproxima casi exactamente con pocos pasos. Para americanas no hay fórmula cerrada de referencia: el binomial es el método.

Construí árboles de n pasos, alterná europea/americana y mirá la curva de convergencia CRR vs Leisen-Reimer vs BSM en el laboratorio binomial.

GBM y los procesos de Wiener (Cap 14)

El Geometric Brownian Motion (Hull 14.3) es el modelo del subyacente bajo la medida risk-neutral:

d S = (r - q) S d t + σ S d W

donde $d W$ es un proceso de Wiener (movimiento browniano). Tiene solución cerrada:

S_{T} = S_{0} \cdot exp [(r - q - \frac{1}{2} σ^{2}) T + σ T Z], Z \sim N (0, 1)

★Por qué μ no aparece

La drift real de la acción (μ) no aparece en el pricing: bajo la medida risk-neutral todo activo rinde la tasa libre r. Este es el corazón del no-arbitrage pricing y la razón de que el precio de la opción no dependa de la expectativa de retorno del subyacente.

La distribución terminal de $S_{T}$ es lognormal, con valor esperado $E [S_{T}] = S_{0} e^{(r - q) T}$ .

Simulá paths de GBM y la distribución terminal lognormal en el laboratorio Monte Carlo.

Black-Scholes-Merton: N(d₁) y N(d₂) (Cap 15)

El modelo BSM supone que el subyacente sigue un GBM bajo la medida risk-neutral $Q$ , y deriva el precio de una opción europea como el valor esperado descontado del payoff bajo esa medida. Las dos fórmulas:

c = S_{0} e^{- q T} N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})

p = K e^{- r T} N (- d_{2}) - S_{0} e^{- q T} N (- d_{1})

con

d_{1} = \frac{ln ( S _{0} / K ) + ( r - q + \frac{1}{2} σ ^{2} ) T}{σ T}, d_{2} = d_{1} - σ T

Descomposición del call en sus 4 piezas

La fórmula del call es producto de cuatro componentes con significado propio:

Pieza	Significado
$S_{0} e^{- q T}$	Spot ajustado por dividendos.
$N (d_{1})$	Delta del call: fracción del subyacente a mantener para replicar.
$K e^{- r T}$	Strike descontado a hoy.
$N (d_{2})$	Probabilidad risk-neutral de ejercer (terminar ITM).

📘Hull Ejemplo 14.6

S₀ = 42, K = 40, T = 0.5, r = 10%, σ = 20%, q = 0. Valores esperados: d₁ = 0.7693, d₂ = 0.6278, Call = 4.7594, Put = 0.8086.

Interpretación de cada pieza (Nielsen 1992)

✓N(d₁) — la delta

Es la fracción del subyacente que necesitás mantener para replicar el call (hedge ratio). También es la probabilidad de ejercicio bajo la medida en la que el numerario es el stock (no el cash). Va de 0 (deep OTM) a 1 (deep ITM).

ℹN(d₂) — la probabilidad

Es la probabilidad risk-neutral de que el call termine ITM: $N (d_{2}) = P^{Q} (S_{T} > K)$ . Es la probabilidad bajo la medida $Q$ donde todos los activos rinden la tasa libre r, NO bajo la medida del mundo real. Siempre $N (d_{1}) \geq N (d_{2})$ porque $d_{1} \geq d_{2}$ .

Derivación step-by-step del PDE de BSM (Hull 15.6)

Paso 1. Modelo del subyacente bajo la medida real $P$ :

d S = μ S d t + σ S d z

Paso 2. Construir un portfolio sin riesgo: long Δ acciones, short 1 call.

Π = - c + Δ \cdot S

Aplicando Itô a $c (S, t)$ :

d c = (\frac{\partial c}{\partial t} + μ S \frac{\partial c}{\partial S} + \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} \frac{\partial ^{2} c}{\partial S ^{2}}) d t + σ S \frac{\partial c}{\partial S} d z

Paso 3. Elegir $Δ = \partial c / \partial S$ para cancelar el término estocástico (dz):

d Π = (- \frac{\partial c}{\partial t} - \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} \frac{\partial ^{2} c}{\partial S ^{2}}) d t

Paso 4. Como Π es libre de riesgo, debe rendir r:

d Π = r Π d t = r (- c + S \frac{\partial c}{\partial S}) d t

Paso 5. Igualando y reordenando, sale el PDE de BSM:

\frac{\partial c}{\partial t} + r S \frac{\partial c}{\partial S} + \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} \frac{\partial ^{2} c}{\partial S ^{2}} = r c

Paso 6. Condiciones de frontera (call europeo): $c (S, T) = max (S - K, 0)$ .

Paso 7. Solución del PDE vía cambio de variable a la ecuación del calor, o equivalentemente vía valuación risk-neutral:

c = e^{- r T} E^{Q} [max (S_{T} - K, 0)]

Bajo $Q$ , $S_{T}$ es lognormal con drift r (en lugar de μ). La integral cerrada de $(S_{T} - K)^{+}$ contra la densidad lognormal da exactamente la fórmula de arriba: los dos términos vienen de partir la integral en "valor esperado de S_T dado ITM" (que da $S_{0} \cdot N (d_{1})$ ) y "K veces la probabilidad de ITM" (que da $K \cdot e^{- r T} \cdot N (d_{2})$ ).

Descomponé el precio en sus piezas y reproducí el Ejemplo 14.6 en el laboratorio de pricing.

Formulario (Cap 13-15)

Binomial — probabilidad risk-neutral

p = \frac{e ^{(r - q) Δ t} - d}{u - d}

Inducción backward

f = e^{- r Δ t} [p f_{u} + (1 - p) f_{d}]

Calibración CRR

u = e^{σ Δ t} d = \frac{1}{u}

Delta replicante (1 paso)

Δ = \frac{f _{u} - f _{d}}{S u - S d}

GBM bajo medida risk-neutral

d S = (r - q) S d t + σ S d W

Black-Scholes-Merton

c = S_{0} e^{- q T} N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})

p = K e^{- r T} N (- d_{2}) - S_{0} e^{- q T} N (- d_{1})

d_{1} = \frac{ln ( S _{0} / K ) + ( r - q + \frac{1}{2} σ ^{2} ) T}{σ T}, d_{2} = d_{1} - σ T