árbol binomialHull 13

El árbol que converge

Construí la lattice CRR paso a paso, coloreá cada nodo por el valor de la opción y mirá cómo Cox-Ross-Rubinstein oscila mientras Leisen-Reimer converge rápido hacia Black-Scholes.

Precios

Precio · n=4

$11.7426

lattice visible

CRR · n=500

$12.3311

referencia fina

Leisen-Reimer · n=51

$12.3358

convergencia rápida

Black-Scholes

$12.3360

europeo cerrado

Δt = 0.2500 · u = 1.1331 · d = 0.8825 · p = 0.5190

La lattice CRR

Cada nodo (i, j) muestra el precio del subyacente arriba y el valor de la opción abajo. El color codifica el valor —de azul (bajo) a coral (alto)—. En modo americano, el borde dorado marca los nodos donde conviene ejercer antes del vencimiento. Subí o bajá los pasos n para ver el árbol crecer.

Convergencia

CRRLeisen-Reimer

CRR (cian) oscila alrededor del precio Black-Scholes (línea verde) con error que decae lento ~O(1/n). Leisen-Reimer (bronce) converge rápido y casi monótono, alcanzando el valor cerrado con pocos pasos.

Los parámetros del árbol

u = e^{σ Δ t}, d = \frac{1}{u}, Δ t = \frac{T}{n}

p = \frac{e ^{(r - q) Δ t} - d}{u - d}

V_{i, j} = e^{- r Δ t} [p V_{i + 1, j} + (1 - p) V_{i + 1, j + 1}]

La valuación es risk-neutral: bajo la probabilidad p el subyacente crece a la tasa libre de riesgo, así que el precio justo es el valor esperado del payoff descontado. En cada nodo americano se compara el valor de continuación con el intrínseco y se ejerce si conviene. Los puts americanos pueden convenir ejercerse temprano (recuperar el strike y reinvertir); los calls americanos sin dividendos nunca se ejercen antes del vencimiento.