Hull 19

Las griegas

Delta, gamma, vega, theta, rho: definición, intuición, hedging y sus relaciones.

Las griegas miden cómo cambia el precio de una opción ante cambios en las variables de entrada. Son las primeras —y segundas— derivadas del modelo Black-Scholes-Merton, y son la herramienta con la que un trader entiende y neutraliza el riesgo de un libro de opciones.

Cada letra griega aísla una fuente de riesgo: el spot (delta y gamma), la volatilidad (vega), el paso del tiempo (theta) y la tasa de interés (rho). Conocer su signo, su forma en función del spot y su comportamiento cerca del vencimiento es lo que permite armar coberturas. En esta unidad asumimos una opción europea sobre un activo con dividend yield $q$ , y $N^{'} (x)$ denota la densidad normal estándar.

Las cinco griegas de un vistazo

Griega	Qué mide	Signo (long call)
$Δ$	∂V/∂S — sensibilidad al spot	(0, 1)
$Γ$	∂²V/∂S² — convexidad	≥ 0 si long
$ν$	∂V/∂σ — sensibilidad a la vol	≥ 0 si long
$Θ$	∂V/∂t — time decay (por año)	< 0 si long
$ρ$	∂V/∂r — sensibilidad a la tasa	> 0 call · < 0 put

★Vega y gamma son siempre positivas si estás long

Sin importar si es call o put: medir la segunda derivada en

S

(gamma) o la primera en

σ

(vega) no distingue dirección. Comprar opcionalidad —call o put— siempre te deja long gamma y long vega; venderla te deja short en ambas.

Delta — sensibilidad al spot

Delta es la tasa de cambio del precio de la opción respecto del precio del subyacente: cuánto se mueve la prima por cada $1 que se mueve el spot. En BSM:

Δ_{call} = e^{- q T} N (d_{1}) Δ_{put} = e^{- q T} [N (d_{1}) - 1]

Signo e intuición. El delta de un call está en $(0, 1)$ y el de un put en $(- 1, 0)$ . Sube de ~0 cuando la opción está muy OTM hasta ~1 (call) o −1 (put) cuando está muy ITM, pasando por aproximadamente ±0,5 en ATM. Se interpreta también como una probabilidad aproximada de terminar ITM, y como el número de unidades del subyacente equivalentes a la opción.

Delta-hedging

Una posición es delta-neutral cuando su delta total es cero: pequeños movimientos del spot no cambian su valor a primer orden. Para cubrir una opción vendida, el trader compra $Δ$ unidades del subyacente. Como el delta cambia con el spot y con el tiempo, la cobertura debe rebalancearse continuamente: es un esquema dinámico, no se arma una vez y se olvida.

📘Delta de una futures option

Para una opción sobre futuros, el delta del call es

Δ_{call} = e^{- r T} N (d_{1})

(modelo de Black). El factor de descuento aparece porque el futuro, a diferencia del spot, no requiere desembolso inicial.

Gamma — convexidad

Gamma es la segunda derivada del precio respecto del spot, o equivalentemente la tasa de cambio del delta. Mide la convexidad de la posición: cuán rápido tenés que rebalancear el delta-hedge. Es idéntica para call y put:

Γ = \frac{e ^{- q T} N ^{'} ( d _{1} )}{S _{0} σ T}

Signo e intuición. Gamma es positiva si estás long opciones. Tiene un pico pronunciado en ATM y decae hacia los extremos. Cerca del vencimiento (T chico) el denominador se achica y el pico se vuelve mucho más alto y angosto: por eso se dice que la gamma explota cerca del expiry. Estar long gamma es deseable —tu delta se mueve a tu favor— pero se paga con theta.

ℹPor qué importa

Una gamma alta significa que un delta-hedge se desactualiza rápido: entre rebalanceos, un movimiento brusco del spot deja a la posición expuesta. El que está short gamma (vendió opciones) sufre justamente cuando el mercado se mueve fuerte.

Vega — sensibilidad a la volatilidad

Vega mide la sensibilidad del precio a la volatilidad del subyacente: cuánto cambia la prima por cada punto de cambio en $σ$ . Es idéntica para call y put:

ν = S_{0} e^{- q T} N^{'} (d_{1}) T

Signo e intuición. Vega es positiva si estás long opciones: más volatilidad aumenta el valor de la opcionalidad. También pico en ATM, pero más ancho que gamma, y crece con T —más tiempo hasta el vencimiento da más oportunidad de que la vol se materialice—. Por eso las opciones largas son las más sensibles a la vol.

📘Vega y un modelo de vol constante

Black-Scholes asume volatilidad constante, así que estrictamente vega es la sensibilidad a un parámetro que el modelo supone fijo. En la práctica se usa igual para cubrir el riesgo de cambios en la volatilidad implícita: para neutralizar vega hay que tomar posición en otra opción (el subyacente tiene vega cero).

Theta — el paso del tiempo

Theta mide cuánto pierde de valor la opción a medida que pasa el tiempo, manteniendo todo lo demás constante: el time decay. Para un call:

Θ_{call} = - \frac{S _{0} e ^{- q T} N ^{'} ( d _{1} ) σ}{2 T} - r K e^{- r T} N (d_{2}) + q S_{0} e^{- q T} N (d_{1})

Signo e intuición. Para una opción comprada theta es típicamente negativa: la opción se evapora cada día que pasa. Es más negativa en ATM, donde la incertidumbre —y por lo tanto el valor temporal— es máxima. Quien está long opciones paga theta todos los días; quien las vende la cobra.

★El trade-off gamma–theta

Gamma y theta tienen signos opuestos: estar long gamma (bueno cuando el mercado se mueve) implica estar long theta negativa (perdés cada día de calma). Vender opciones te deja long theta, short gamma: cobrás decay todos los días pero te lastima un movimiento brusco. Esa es la tensión central de cualquier libro de opciones.

Rho — sensibilidad a la tasa

Rho mide la sensibilidad del precio a la tasa de interés libre de riesgo:

ρ_{call} = K T e^{- r T} N (d_{2}) ρ_{put} = - K T e^{- r T} N (- d_{2})

Signo e intuición. Rho es positiva para calls y negativa para puts. Una tasa más alta baja el valor presente del strike, lo que beneficia al comprador del call y perjudica al del put. Para calls, rho crece con el strike $K$ y con el tiempo a vencimiento, así que las opciones largas y de strike alto son las más sensibles a la tasa. Es la griega de menor impacto en horizontes cortos.

Cómo se comportan en función del spot

Las observaciones clave al mirar las griegas como función del precio del subyacente:

Delta: Del call sube de 0 (OTM) a 1 (ITM), pasando por ~0,5 en ATM. Para puts va de 0 a −1.
Gamma: Pico en ATM. Cerca del vencimiento el pico se vuelve mucho más alto y angosto: la gamma explota cerca del expiry.
Vega: También pico en ATM, pero más ancho. Aumenta con T: más tiempo significa más oportunidad de que la vol importe.
Theta: Más negativa en ATM: la opción pierde valor más rápido donde la incertidumbre vale más.
Rho: Sube linealmente con K para calls: cuanto más alto el strike, más sensible a la tasa.

ℹVisualizá las superficies

Explorá cada griega en función del spot y del tiempo, y comparalas entre calls y puts, en el laboratorio de pricing.

Interpretación práctica

Comprar ATM cerca del vencimiento → exposición a gamma: Un movimiento del subyacente cambia tu delta dramáticamente. Excelente si acertás la dirección, doloroso si no.
Comprar opciones largas con vol baja → long vega: Te juega a favor si la volatilidad sube, justo lo que pasa antes de resultados o eventos macro.
Vender opciones (covered call, iron condor) → long theta, short gamma: Theta te juega a favor (cobrás decay) pero gamma en contra: un movimiento brusco te lastima.

La relación entre las griegas y la PDE de Black-Scholes

Las griegas no son independientes: están ligadas por la ecuación diferencial de Black-Scholes. Para un portfolio delta-neutral $Π$ vale la relación entre theta, gamma y la tasa:

Θ + \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} Γ = r Π

Esto formaliza el trade-off gamma–theta: en una posición delta-neutral, una gamma positiva grande obliga a una theta negativa grande, y viceversa. No podés tener convexidad gratis. Esta identidad es, de hecho, la propia PDE de Black-Scholes escrita en el lenguaje de las griegas.

📘Convergencia binomial → Black-Scholes

El árbol binomial CRR converge al precio BSM cuando

n \to \infty

, pero oscila alrededor del valor límite. El esquema de Leisen-Reimer converge mucho más rápido y de forma monótona. Podés ver esta convergencia paso a paso en el laboratorio binomial.

Formulario — Hull Cap 19

ℹNotación

N^{'} (x)

es la densidad normal estándar. Opción europea con dividend yield

q

Delta: $Δ_{call} = e^{- q T} N (d_{1}) Δ_{put} = e^{- q T} [N (d_{1}) - 1]$
Gamma (igual call y put): $Γ = \frac{e ^{- q T} N ^{'} ( d _{1} )}{S _{0} σ T}$
Vega (igual call y put): $ν = S_{0} e^{- q T} N^{'} (d_{1}) T$
Theta (call): $Θ_{call} = - \frac{S _{0} e ^{- q T} N ^{'} ( d _{1} ) σ}{2 T} - r K e^{- r T} N (d_{2}) + q S_{0} e^{- q T} N (d_{1})$
Rho: $ρ_{call} = K T e^{- r T} N (d_{2}) ρ_{put} = - K T e^{- r T} N (- d_{2})$
Relación delta-gamma-theta (portfolio delta-neutral): $Θ + \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} Γ = r Π$

Repaso para el parcial

Si te dan una posición y te piden cubrirla: empezá por el delta (comprá/vendé subyacente para neutralizarlo), después mirá gamma y vega (que solo se cubren con otras opciones), y recordá que theta es el precio que pagás por estar long gamma. La relación $Θ + \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} Γ = r Π$ es la que conecta todo.