Hull 3

Coberturas con futuros

Hedge ratio, cobertura de mínima varianza, beta y ajuste de carteras con índices.

Cubrir una posición con futuros no es trivial: rara vez existe el contrato exacto sobre tu activo. Esta unidad arma el hedge ratio de mínima varianza, mide la basis risk que queda al cubrir con un futuro imperfecto, y extiende la idea a carteras de acciones vía la beta.

1 · Hedge ratio óptimo

Hedge ratio de mínima varianza (Hull 3.4):

h^{*} = ρ \cdot \frac{σ _{S}}{σ _{F}}

Donde $σ_{S}$ es la desviación del cambio de precio spot, $σ_{F}$ la del futuro, y $ρ$ la correlación entre ambos. Si la correlación es 1 y las vols iguales, $h^{*} = 1$ (cobertura perfecta).

La hedge effectiveness mide qué proporción de la varianza fue eliminada por el hedge:

effectiveness = ρ^{2}

📘Hull pp. 56-62 · derivación

La derivación parte de minimizar $Var (Δ S - h Δ F)$ respecto de $h$ . Derivando e igualando a cero:

h^{*} = \frac{Cov ( Δ S , Δ F )}{Var ( Δ F )} = ρ \cdot \frac{σ _{S}}{σ _{F}}

La hedge effectiveness $ρ^{2}$ mide qué proporción de la varianza del cambio de precio spot fue eliminada por el hedge. Si $ρ = 1$ , eliminás todo. Si $ρ = 0$ , no estás hedgeando nada.

ℹNota

Mové

σ_{S}

σ_{F}

ρ

y observá cómo se mueve la varianza del portfolio hedgeado en el laboratorio de pricing.

2 · Basis risk

Basis = Spot − Futuro. Cuando hedgeás un asset con un futuro que no es exactamente sobre ese asset (ej: hedgear jet fuel con heating oil futures), te queda basis risk: el spread spot-futuro al cerrar el hedge no es predecible.

Hull 3.1: el resultado de un hedge corto en un punto $t_{2} \neq =$ vencimiento es:

S_{2} - F_{1} = F_{2} + (S_{2} - F_{2}) = F_{2} + b_{2}

Donde $b_{2} = S_{2} - F_{2}$ es la basis al cierre. El precio efectivo que conseguís queda fijado por $F_{1}$ (conocido al entrar) más una basis $b_{2}$ incierta: ahí vive todo el riesgo residual de la cobertura.

★Clave para el parcial

Cuanto mayor la correlación entre tu activo y el subyacente del futuro, menor la varianza de la basis y más confiable la cobertura. El basis risk es el precio inevitable de cubrir con un futuro imperfecto.

3 · Hedge de equity portfolio

Hedge de un portfolio de acciones con index futures (Hull 3.5):

N^{*} = β \cdot \frac{V _{A}}{V _{F}}

Donde $V_{A}$ es el valor del portfolio, $V_{F}$ es el valor de un contrato futuro (precio × multiplicador), y $β$ es la beta del portfolio respecto al índice.

Cambiar la beta del portfolio

Si tu $β$ actual es $β$ y querés llegar a $β^{*}$ :

N^{*} = (β^{*} - β) \cdot \frac{V _{A}}{V _{F}}

Si $β^{*} < β$ → vendés futuros (reducir exposición). Si $β^{*} > β$ → comprás futuros. Para una cobertura total ( $β^{*} = 0$ ) recuperás la fórmula $N^{*} = β V_{A} / V_{F}$ .

Sensibilidad S&P 500: hedged vs sin hedge

Un portfolio cubierto con futuros se comporta como risk-free: gana aproximadamente la tasa libre independientemente del movimiento del índice.

Setup típico: portfolio de $5M, S&P 500 inicial 1.000, multiplicador 250 → se shortean $N^{*} = V_{A} / (S_{0} \cdot mult)$ ≈ 20 contratos (cada contrato cubre $250.000). Al barrer el S&P final de 900 a 1.100, el portfolio sin hedge oscila ±10%, mientras que el hedged queda cuasi-constante cerca del target risk-free $V_{A} e^{r T}$ .

El hedge convierte el riesgo de mercado en rendimiento risk-free: la ganancia/pérdida del físico se cancela contra la del short de futuros, dejando aproximadamente la tasa libre sobre el período.

ℹNota

Calculá

N^{*}

y simulá la cobertura de tu cartera contra un rango de escenarios del índice en el laboratorio de pricing.

4 · Cross hedging descompuesto

En cross hedging cubrís un activo ( $S_{2}$ ) usando futuros de OTRO activo relacionado ( $F_{1}$ ). Ejemplo clásico: una aerolínea cubre costo de nafta usando futuros de crudo WTI.

Al vencimiento, tu ingreso total tiene tres componentes:

Ingreso = F_{1} + (S_{2}^{*} - F_{2}) + (S_{2} - S_{2}^{*})

$F_{1}$ : ganancia/pérdida en el futuro que tradeaste.
$(S_{2}^{*} - F_{2})$ : riesgo de base si el futuro fuera sobre tu mismo activo (inevitable).
$(S_{2} - S_{2}^{*})$ : efecto correlación imperfecta (costo del cross-hedging).

★Clave para el parcial

Si el efecto de correlación imperfecta (

S_{2} - S_{2}^{*}

) domina sobre el riesgo de base (

S_{2}^{*} - F_{2}

), el cross-hedging agrega más riesgo del que resuelve: conviene buscar un futuro más correlacionado o aceptar quedar sin hedge.

Aerolínea cubre nafta con crudo WTI

Situación:

Aerolínea consume 2.000.000 galones de nafta por mes.
No hay futuros líquidos de nafta → usa futuros de crudo WTI.
Correlación nafta-crudo: $ρ = 0.928$ .

Datos históricos: $σ_{nafta} = 0.0263$ (vol cambios de precio nafta), $σ_{crudo} = 0.0313$ (vol cambios futuro crudo).

Hedge ratio óptimo:

h^{*} = ρ \cdot \frac{σ _{S}}{σ _{F}} = 0.928 \cdot \frac{0.0263}{0.0313} = 0.78

Conversión de unidades: futuro crudo = 1.000 barriles por contrato; 1 barril ≈ 42 galones; 2.000.000 galones = 47.619 barriles.

Número de contratos:

N^{*} = h^{*} \cdot \frac{Q _{A}}{Q _{F}} = 0.78 \cdot \frac{47 , 619}{1 , 000} \approx 37 contratos

La aerolínea shortea 37 contratos de crudo WTI para cubrir 2M galones de nafta.

Formulario · Hull Cap 3

Hedge ratio de mínima varianza:

h^{*} = ρ \frac{σ _{S}}{σ _{F}}

Hedge effectiveness — varianza eliminada:

effectiveness = ρ^{2}

Número óptimo de contratos (ajustado por tamaño):

N^{*} = h^{*} \frac{Q _{A}}{Q _{F}}

Hedge de equity portfolio con index futures:

N^{*} = β \frac{V _{A}}{V _{F}}

Cambio de beta de $β$ a $β^{*}$ :

N^{*} = (β^{*} - β) \frac{V _{A}}{V _{F}}

Cross hedging — descomposición del ingreso:

Ingreso = F_{1} + (S_{2}^{*} - F_{2}) + (S_{2} - S_{2}^{*})

ℹNota

Q_{A}

= tamaño de la posición a cubrir;

Q_{F}

= tamaño de un contrato;

V_{A}

= valor del portfolio;

V_{F}

= valor de un contrato futuro (precio × multiplicador).